Das Standesamt hat meine Erklärung nicht direkt bearbeitet, sondern mich auf einen späteren Zeitpunkt vertröstet. Man müsse sich erst informieren oder hätte momentan keine Zeit zur Bearbeitung.

Es kann sein, dass das Standesamt entweder gerade keine Zeit hat, die Erklärung zu bearbeiten, oder, dass es sich erst über das Verfahren in dieser Sache informieren muss.
Ihr solltet Euch in diesem Fall am besten direkt einen erneuten Termin geben lassen, wenn Zeit zur Bearbeitung ist bzw. bis zu dem sich der_die Standesbeamte_in informiert hat.
Lässt sich das Standesamt auf keinen konkreten Termin ein, sondern nennt Euch eine akzeptable Zeitspanne, wann Ihr wieder kommen sollt, so hakt nach Ablauf nach.